Алексей Иванович Абрикосов родился 20 февраля 1824 года в Москве. Учился в Практической академии коммерческих наук, но не закончил ее, хотя всю оставшуюся жизнь делал пожертвование на развитие академии.
Сначала работал по найму, а с 1847 года стал заниматься самостоятельным предпринимательством. В 1897 году товарищество Абрикосова приобрело земельный участок на Малой Красносельской улице (Сокольники), где и была построена кондитерская фабрика.
К началу 20 века это уже было очень большое предприятие, штат которого насчитывал 1900 сотрудников, производство в год составляло примерно четыре тысячи тонн различных кондитерских изделий. В 1899 году товарищество Алексея Абрикосова удостоилось знатного звания «Поставщик Двора его Императорского Величества». Сейчас основанное Абрикосовым предприятие является кондитерским концерном «Бабаевский».
С 1883 года Абрикосов являлся учредителем и директором торговли «Братья Поповы», занимающейся чаем, а также был учредителем купеческого общества взаимного кредита в Москве. С 1880 по 1902 годы был учредителем и председателем Совета Учётного банка.
Алексей Абрикосов часто делал различные пожертвования, участвовал в комитете по оказанию помощи семьям убитых и раненых в турецкой войне. В 1870 году Алексей Иванович Абрикосов стал одним из потомственных почётных граждан. Награжден орденами святой Анны и святого Станислава 2-ой степени, а в 1876 году – золотой медалью «За усердие».
Алексей Иванович Абрикосов умер 31 января 1904 года. Концерн «Бабаевский» и сегодня одно из самых известных кондитерских предприятий страны.