Юрий Александрович Завадский родился 12 июля 1894 года в Москве.
Его творческий путь начался в 1915 году в студии и театре Е. Вахтангова, где он сыграл Антония («Чудо святого Антония» Метерлинка) и Калафа («Принцесса Турандот» Гоцци). Ученик Вахтангова, Завадский воспринял от него изящество и строгую чёткость внешнего рисунка роли, одухотворённость и внутреннюю наполненность исполнения. Режиссёрским дебютом Завадского был спектакль «Женитьба» Гоголя (1924).
В 1924-1931 годах Завадский работает в МХАТе. В 1932-1935 - возглавляет Центральный театр Красной Армии. Творчески развивая сценические традиции Станиславского и Вахтангова, Завадский стремился к стилистической определённости формы спектакля, придавал большое значение раскрытию авторского замысла силами актёрского ансамбля.
В 1936-1940 годах он возглавлял Театр им. Горького (Ростов-на-Дону), где поставил спектакли «Любовь Яровая» Тренева, «Укрощение строптивой» Шекспира и другие. С 1940 года Юрий Александрович стал главным режиссёром Московского театра им. Моссовета. В годы Великой Отечественной войны в искусстве Завадского преобладающее звучание приобрели суровые героические мотивы.
Значительное место в творчестве Завадского занимают спектакли «Маскарад» Лермонтова и «Петербургские сновидения» (по роману Достоевского «Преступление и наказание», 1969), исполненные трагедийного звучания и больших философских обобщений.
С 1940 года Завадский преподавал в ГИТИСе. С 1947 года – профессор.
Умер Юрий Александрович 5 апреля 1977 в Москве. О нем снят телевизионный фильм «Дома у Ю. А. Завадского» (Т. В. Сергеева).