Игорь Олегович Горбачев родился 20 октября 1927 года в Ленинграде (ныне Санкт-Петербург). Учился на философском факультете Ленинградского университета. Занял первое место на Всесоюзном смотре художественной самодеятельности, исполнив роль Хлестакова в спектакле «Ревизор», и был приглашен на эту же роль в кино.
В 1952 году Горбачев был принят в труппу Большого драматического театра им. М.Горького. С 1954 года – актер, в 1975-1991 годах – художественный руководитель Ленинградского академического театра драмы им. А.С. Пушкина.
Всего в его послужном списке было более двухсот ролей, сыгранных в театре и в кино, в том числе Треплев из чеховской «Чайки», Васька Пепел из пьесы Горького «На дне», Лаврецкий из тургеневского «Дворянского гнезда», Протасов из спектакля «Дети солнца» по Горькому, гоголевский Чичиков из «Мертвых душ», Морозов из фильма «Всё остается людям», Якушев из «Операции «Трест»».
Игорь Горбачев не раз выступал и в роли режиссера, поставив на сцене Государственного академического театра имени А.С. Пушкина «Женитьбу Бальзаминова» по пьесе Островского, «Фельдмаршала Кутузова» по произведению Соловьева, «Марию Тюдор» по Гюго и многие другие пьесы. Среди своих любимых спектаклей Горбачев называл «Сердца трех», «Годы странствий», «Друзья и годы», «Кутузов», «Пока бьется сердце».
Игорь Олегович был основателем (1992) и первым ректором Театрального института «Школа Русской драмы», после смерти в 2003 году институту присвоено его имя.
Скончался Игорь Олегович Горбачев 19 февраля 2003 года.