Афанасий Иванович Кочетков родился 9 марта 1930 года в деревне Балахоновка Самарской области в большой крестьянской семье. Отец Афанасия, два старших брата и старшая сестра в годы войны ушли на фронт. В 1942 году отец погиб. Мальчика воспитывала мать.
Афанасий сначала не помышлял об актерской карьере и получил образование в Кишиневском университете на факультете геологии. В свободное время посещал студенческий театр. По окончании университета Кочетков уехал в Москву и поступил в театральном училище имени Щепкина при Малом театре.
Окончив в 1956 году училище, Кочетков был принят в труппу Театра-студии киноактера. Первым режиссером, у которого Кочетков снялся в кино, был В.П.Басов («Первые радости» и «Необыкновенное лето»). Затем одна за другой последовали центральные роли: Смолярчук в киноленте «Над Тиссой» (1958), Герасим в фильме «Муму» (1959), и многие другие.
Среди замечательных работ А.И.Кочеткова в кино также: Антонов («Одиночество»), Мостовенко («Сердце России»), Смуров («Первое свидание»), Роман («Длинный день»), Харитонов («Обыкновенная Арктика»), Антон («Поговорим, брат»), Дубодел («Люди на болоте»), Данила («Угрюм-река») и, конечно же, Максим Горький в фильмах «Маяковский начинается так», «Невероятный Иегудиил Хламида», «Я – актриса» и других – всего роль Горького он исполнил в шести картинах. В творческом активе артиста около 100 персонажей в фильмах русских, украинских и белорусских кинематографистов.
Годы работы в Московском драматическом театре им.А.С.Пушкина (1964-1978) – плодотворный период творческой карьеры артиста. Он создал трагически-экспрессивные образы шолоховских героев Макара Нагульного («Поднятая целина») и Андрея Соколова («Судьба человека»), играл и в других амплуа – например, в спектакле «Легенда о Паганини» роль скрипача-виртуоза Никколо Паганини.
В 1978 году Малый театр приступил к постановке «Короля Лира» Шекспира. На одну из центральных ролей – графа Кента – руководство театра пригласило своего бывшего выпускника. С 1978 года и до последних дней он оставался одним из ведущих артистов труппы Академического Малого театра.
Уход из жизни был трагическим и до сих пор вокруг него ведутся споры. Он пропал 9 июня 2004 года и несколько дней пожилого актера нигде не могли найти. Впоследствии Афанасия Ивановича обнаружили в одной из московских клиник, где он скончался от инсульта 25 июня 2004 года.