Алексей Александрович Бахрушин родился в Москве 31 января 1865 года в семье купца-фабриканта, занимавшегося кожевенным и суконным производством. Родители дали мальчику прекрасное образование и привили любовь к искусству, что для богатого московского купечества было делом нередким.
Его дед писал стихи, а отец свободно владел несколькими иностранными языками и много путешествовал. Клан Бахрушиных славился в Москве благотворительностью и страстью к коллекционированию. Неудивительно, что будущий знаток российской театральной жизни с детства стал завсегдатаем московских театров и даже сам пробовал играть на сцене театрального кружка.
В 23 года Алексей всерьез занялся купеческой деятельностью, у него появились свободные деньги, и он, по примеру двоюродного брата Алексея Петровича Бахрушина, увлекся коллекционированием. Сначала Алексей собирал восточные редкости, затем – все, что связано с Наполеоном и войной 1812 года. А в 1890 году перешел на коллекционирование русской театральной старины.
Новому увлечению Алексей отдался с жаром. Дом стал наполняться фотографиями актеров, эскизами костюмов и декораций, афишами и программами спектаклей, личными вещами артистов и книгами о театральном искусстве. Поиск театральных раритетов он вел целенаправленно, стремясь отразить в своей коллекции всю историю российского театра. В октябре 1894 года собиратель впервые представил свою коллекцию московским театралам. С этого времени и идет отсчет работы Московского литературно-театрального музея.
В коллекции Алексея Бахрушина скопилось громадное количество раритетов, что привело к выделению трех самостоятельных направлений в их экспонировании: литературного, драматического и музыкального.
Бахрушин с удовольствием представлял собранные им раритеты на различные выставки. Часть его коллекции побывала даже на Всемирной выставке в Париже в 1900 году. А юбилейная выставка 1899 года, посвященная 150-летию российского театра, на треть состояла из раритетов, собранных Бахрушиным.
В ноябре 1913 года Бахрушин передал свою коллекцию Российской Академии наук и возглавил правление музея, который стал носить его имя. На этом посту он остался и после революции.
Скончался Алексей Александрович Бахрушин 7 июня 1929 года. Созданный им музей плодотворно работает и в наши дни.