Он является создателем современной теории устойчивости равновесия и движения механических систем с конечным числом параметров. Получили известность его исследования дифференциальных уравнений, труды по гидродинамике и теории вероятностей.

Александр Михайлович Ляпунов родился (25 мая) 6 июня 1857 года в городе Ярославле в семье известного астронома М. В. Ляпунова, который на момент рождения сына занимал должность директора Демидовского лицея.
В 1870 году Александр был принят сразу в третий класс гимназии в Нижнем Новгороде. Окончив в 1876 году с золотой медалью гимназию, Александр поступил в Петербургский университет на физико-математический факультет. В 1885 году Александр Михайлович Ляпунов защищает диссертацию на тему «Об устойчивости эллипсоидальных форм равновесия вращающейся жидкости» и получает степень магистра. В 1900 году Ляпунова избирают членом-корреспондентом Академии наук, а в следующем 1901 году – ординарным академиком по кафедре прикладной математики.
В 1908 году Александр Михайлович уезжает в Рим, чтобы принять участие в IV Международном математическом конгрессе. В 1917 году Александр Михайлович Ляпунов из-за ухудшения здоровья жены переезжает в Одессу к брату Борису Михайловичу.
31 октября 1918 года его жена умерла. Не сумев пережить кончину жены, Александр Михайлович Ляпунов в тот же день выстрелом в себя пытался покончить с собой. Скончался великий математик 3 ноября 1918 года.