Янош Бойяи родился 15 декабря 1802 года в трансильванском городе Колошвар; в наши дни это Клуж-Напока (Румыния), а тогда город принадлежал Австро-Венгрии. Отец его, известный математик Фаркаш Бойяи, ещё в раннем возрасте преподал сыну основы математических знаний.
В 1822 году Янош заканчивает Военно-инженерный колледж в Вене, сдав семилетний курс за 4 года. Уже в колледже он настолько увлёкся исследованием пятого постулата Евклида, что отец с тревогой советовал Яношу: «Ты должен бросить это как самое гнусное извращение. Оно может отнять у тебя всё время, здоровье, разум, все радости жизни. Эта черная пропасть может поглотить тысячу таких титанов, как Ньютон…».
Янош не внял совету отца, но отец оказался прав. Вскоре он приходит к выводу, что пятый постулат недоказуем и независим от остальных. Это означало, что, заменив его на альтернативный, можно построить новую геометрию, отличную от евклидовой. Примерно в 1820-1823 годах Бойяи заканчивает трактат с описанием новой геометрии.
В 1823 году Бойяи направлен на армейскую службу в военно-инженерные войска. Он отдал армии 11 лет, считался отличным офицером и замечательным танцором. Владел 9 языками, включая китайский и тибетский. Никогда не пил и не курил.
В 1832 году отец публикует своё сочинение, а в приложении к нему – работу сына, вошедшую в историю математики под именем Appendix (приложение). Годом ранее Фаркаш Бойяи послал «Аппендикс» своему давнему другу, тогдашнему «королю математиков» Карлу Гауссу. Прочитав сочинение, Гаусс написал одному из своих друзей: «Этот юный геометр Бойяи – гений высшего класса».
В 1848 году Янош Бойяи знакомится с трудом Лобачевского, который ещё в 1829 году, на 3 года раньше Бойяи, опубликовал сходную по идеям работу. Бойяи в ярости. Он подозревает, что у него украли лучшие идеи, что никакого Лобачевского никогда не существовало, и всё это проделки хитроумного Гаусса. В то же время он восхищается мастерством и остроумием доказательства некоторых теорем.
Последние годы Бойяи омрачены тяжёлым душевным разладом.
Умер Янош Бойяи 27 января 1860 года. После его смерти были обнаружены более 20 000 листов незаконченных математических рукописей. Однако «Аппендикс» так и остался единственной его работой, напечатанной при жизни автора.