Евгений Дмитриевич Дога родился 1 марта 1937 года в селе Мокра Рыбницкого района (Молдавия). В 1951 году начал учебу в Кишиневском музыкальном училище по классу виолончели, которую окончил в 1955 году. С 1955 по 1960 годы учился в консерватории, а также работал на Молдавском радио. Однако из-за паралича левой руки Евгений Дога не смог сделать карьеру музыканта.
В 1960-1965 году Дога учился в консерватории по классу композиции, и в это время состоялся дебют его песни в исполнении оркестра Шико Аранова. В 1963 году им был написан первый струнный квартет. После окончания консерватории он посвящает себя изучению теории музыки, работает над учебником для студентов.
В 1962-1963 годах Евгений Дога преподает в музыкальной школе Кишинева, а в 1963-1967 годах — в музыкальном училище имени Е.Коки. В 1967-1972 годах он участвовал в репертуарно-редакционной коллегии Министерства культуры. С 1987 по 1999 год Дога был членом комиссии по Ленинским и Государственным премиям Советского Союза.
Дога занимался и общественно-политической деятельностью — два созыва был членом Молдавского Верховного Совета и два — Верховного Совета СССР.
Евгений Дога написал музыку ко многим известным фильмам, их более 200 («Табор уходит в небо», «Мой ласковый и нежный зверь», «Одиноким предоставляется общежитие», «Валентин и Валентина», «Королева Марго»), является автором двух балетов и симфонии, нескольких мюзиклов и квартетов. Самая известная песня города Кишинева «Мой белый город» тоже написана этим талантливым композитором.
Евгений Дога награжден орденом «За заслуги перед Отечеством», является лауреатом государственной премии СССР и Молдавии, заслуженным деятелем искусств Молдавской ССР (1974), народным артистом Молдавии (1984) и народным артистом СССР (1987).