Глеб Александрович Стриженов родился 21 июля 1925 года в Воронеже в семье военного. Его брат Олег впоследствии тоже стал известным актёром. В 1930-е годы семья переехала в Москву. Во время Великой Отечественной войны Глеб идёт добровольцем на фронт. Однако его служба длилась недолго – в первом же бою молодой солдат был контужен. После лечения в госпитале его комиссовали.
Уже во время войны Глеб начинает играть в московских и провинциальных театрах. Он был актёром Кировского областного драматического театра , Московского театра комедии, театров Ульяновска, Владимира, Иркутска, театра Балтийского флота, Московского центрального театра транспорта, Московского театра драмы и комедии. Однако несколько позднее он решает заняться своим образованием и поступает на курс Василия Осиповича Топоркова в Школу-студию МХАТ, которую успешно заканчивает в 1953 году.
Молодого актёра также привлекало кино. В 1956 году он впервые снялся в кинофильме «Необыкновенное лето». Этот опыт ему понравился и с тех пор Стриженов снимался постоянно.
Стриженов быстро становится популярным. Среди лучших его ролей в кино Гедеонов («Миссия в Кабуле»), маркиз («Красное и чёрное»), Петька-артист («Жизнь прошла мимо»), Безработный («Монета»), Рязанцев («Третий тайм»), Офицер («Оптимистическая трагедия»), Гремин («Трактир на Пятницкой»), Якубов («Гараж»), Глан («Через тернии к звёздам»).
С 1962 года Глеб Стриженов стал актером Театра-студии киноактера. В 1974 году ему было присвоено звание Заслуженного артиста РСФСР. Его последней работой в кино стала роль в фильме «Канкан в Английском парке».
Вскоре после окончания работы над фильмом 4 октября 1985 года Глеб Стриженов скончался от инфаркта.