Георгий Николаевич Шенгелая родился 11 мая 1937 года в Москве в творческой семье (отец - кинорежиссёр, мать - актриса). В 1961 году Георгий закончил факультет режиссёров Всесоюзного государственного института кинематографии в мастерской А. Довженко и М. Чиаурели. Защита диплома состоялась в 1963 году. Уже с 1961 года Шенгелая работал режиссёром студии «Грузия-фильм», руководил режиссёрской мастерской в институте театра и кино имени Шота Руставели в Тбилиси.
В 1985 году режиссёр удостоен звания Народного артиста Грузинской ССР. В 1986 году он стал лауреатом кинофестиваля в Берлине как лучший режиссёр. В 1974 году на фестивале в Чикаго Шенгелая получил Гран-При «Золотой Хьюго» за картину «Пиросмани». В 1991-1992 году являлся членом Государственного совета Грузии. В марте 2001 года сформировал и стал лидером организации «Грузинская партия лозы. Вместе с Россией».
В качестве режиссёра Георгий Шенгелая снял 12 картин, среди которых такие как «Пиросмани» (1969 год), «Приди в долину винограда» (1971), «Девушка со швейной машинкой» (1980), «Путешествие молодого композитора» (1985), «Смерть Орфея» (1996), «И шёл поезд» (2005). Написал сценарии к 10 фильмам, в основном к своим собственным, снялся как актёр в пяти кинолентах.
Был женат на актрисе Софико Чиаурели (1937-2008). В браке родились двое сыновей: Николай (Нико) - художник и Александр (Сандро) - актёр.