Алексей Львович Рыбников появился на свет 17 июля 1945 года в Москве в семье известного скрипача и художницы. Мальчик увлекался музыкой, рисованием, кинематографом. Он рано проявил свой музыкальный талант. В 8 лет Алексей уже писал пьесы для фортепиано.
В 1956-1962 годах Алексей посещал Центральную музыкальную школу для одарённых детей при Московской консерватории. По окончании школы он поступил в консерваторию им. П.И. Чайковского по классу композиции А.Хачатуряна, которую с отличием закончил в 1969 году.
Впоследствии вплоть до 1975 года Рыбников преподавал в Московской консерватории на кафедре композиции. Он также писал музыку к кинофильмам. В 1973 году было продано множество пластинок с записями его музыки к фильму «Большое космическое путешествие».
В 1976 году на сцене Московского театра им. Ленинского комсомола состоялась премьера мюзикла «Звезда и смерть Хоакина Мурьеты», музыку для которого написал Рыбников. Спектакль имел невероятный успех, Рыбников приобрёл большую известность, как талантливый современный композитор.
В 1977 году фирмой «Мелодия» был выпущен двойной альбом «Звезда и смерть Хоакина Мурьеты», который был распродан многотысячными тиражами и занял первое место во всесоюзном хит-параде лучших грамзаписей. Помимо этого музыка к кинофильму «Звезда и смерть Хоакина Мурьеты» была удостоена приза на Московском международном кинофестивале в 1979 году. Алексей Рыбников стал основателем нового жанра в советской музыке– жанра рок-опер.
В 1981 году в Московском театре им. Ленинского комсомола состоялась премьера рок-оперы Рыбникова «Юнона и Авось». Спектакль ждал оглушительный успех не только в СССР, но и за рубежом, куда театр неоднократно выезжал на гастроли.
За свою творческую карьеру Алексей Рыбников написал музыку к более, чем 80 кино-, теле– и мультфильмам , таким как «Остров сокровищ», «Вам и не снилось», «Тот самый Мюнхгаузен», «Через тернии к звездам», «Русь изначальная», «Дети бездны». В 1990 году композитор создает собственный театр-мастерскую в Москве.
В 2000 году Алексей Рыбников стал художественным руководителем концертного зала «Академический». В 2001 году композитор закончил работу над новой музыкальной драмой «Маэстро Массимо» («Оперный дом»).
Народный артист России (1999), Заслуженный деятель искусств РСФСР (1989), лауреат международных и общественных премий, член Союза композиторов (с 1969 года) и Союза кинематографистов (с 1979 года) Рыбников награждён орденом Орла I степени за деятельность общенародного значения (1992) и Орденом Буратино за заслуги перед детским кинематографом (2008). Он член Совета при Президенте России по культуре и искусству, Комитета по премиям Правительства Москвы и Патриаршего совета по культуре (Русская православная церковь).
Алексей Львович женат, его супруга - Татьяна, у них двое детей - дочь Анна (кинорежиссёр) и сын Дмитрий (композитор, музыкант).
Сегодня Алексей Львович Рыбников живёт и работает в Москве. В 2011 году композитор написал современную оперу на основе романа Л.Толстого «Война и мир».