Ростислав Янович Плятт родился (30 ноября) 13 декабря 1908 года в Ростове-на-Дону в семье адвоката.
В 1916 году семья переехала в Москву. В школу, где учился Плятт, часто приезжали со спектаклями артисты МХАТа. В результате после окончания школы Ростислав поступил в театральную студию под руководством Юрия Завадского.
Уже на втором курсе, в 1927 году, Плятт дебютировал в спектакле «Простая вещь» по рассказам Бориса Лавренева. Так началась его актерская биография.
В 1936 году театр Завадского переехал в Ростов-на-Дону из-за отсутствия помещения в Москве. Плятт едет вместе с театром. На ростовской сцене он играет одну за другой удачные роли. Среди них – Болинброк («Стакан воды» Э. Скриба, 1937), Скалозуб («Горе от ума» А. С. Грибоедова, 1937) и др.
Серьезный успех принесла роль Фон Ранкена («Дни нашей жизни» Л. Н. Андреева, 1938), которая выявила склонность актера к психологически тонкому и углубленному раскрытию характера. До этой роли Плятт был задействован чаще в комедийных и эксцентрических ролях, и был признан характерным актером.
В 1938 году Плятт вернулся в Москву, работал в Театре им. Ленинского комсомола, а затем в Московском театре драмы, после чего в 1943 вернулся к Завадскому и остался до конца верным Театру им. Моссовета.
За долгие годы работы он выступал в самых разных по масштабу и жанрам ролях. С каждым годом в искусстве Плятта все значительнее определялась психологическая разработка персонажей.
Особый тембр голоса Плятта привел его на радио, где он работал с 1931 года. Проникновенные интонации, умение донести до слушателя тонкие оттенки чувств, завораживали не одно поколение радиослушателей.
С 1938 года Плятт снимался в кино, был востребован телевидением. Фильмография Плятта включает более четырех десятков фильмов.
Он был невероятно обаятелен и располагал к своим героям безотказно. Присущая ему ирония меняла оттенки от трогательно-добродушной и сентиментальной до трагической, а облик с годами обрел спокойное благородство. Он был многолик и очень не любил штампы…
Умер Плятт 30 июня 1989 года в Москве.