Альберт Леонидович Филозов родился 25 июня 1937 года в Свердловске (ныне Екатеринбург). Окончив школу, Альберт обучился профессии токаря и трудился на заводе «Шарикоподшипник».
В 1955 году он поступил на курс Виктора Станцина в Школу-студию Московского художественного академического театра, которую окончил в 1959 году и был приглашен на работу в театр имени Станиславского в Москве. В 1960-1961 годах Филозов был актёром театра имени Ермоловой.
Потом его призвали в армию — Альберт Филозов служил в вооружённых силах в сапёрных частях. После службы снова работал в театре имени Станиславского, где играл с М. Кнобель и А. Поповым в постановках Анатолия Васильева «Васса Железнова» и «Взрослая дочь молодого человека». В 1983 году он стал Заслуженным артистом РСФСР. В 1985 году на сцене Театра на Таганке была показана пьеса В. Славкина «Серсо», в которой сыграл и Филозов. Начиная с 1989 года, он занят в ролях в театре «Школа современной пьесы».
Совместно с Арменом Джигарханяном являлся мастером курса актёров во ВГИКе в 1991-1995 годах, работает преподавателем в РАТИ.
В кино снялся более чем в 110 картинах разных жанров и направлений - «Вид на жительство», «И это все о нем», «Вам и не снилось», «Тегеран-43», «Мэри Поппинс, до свидания!», «Человек с бульвара Капуцинов», сериалах «Бедная Настя», «В круге первом», «Горыныч и Виктория», «Красное и чёрное» и других. Награждён Орденом Дружбы Народов.