Игорь Владимирович Кваша родился 4 февраля 1933 года в Москве. Окончив школу, пошел учиться на актера. В 1955 году Кваша окончил Школу-студию МХАТ и два года играл на сцене МХАТа.
В 1957 году он переходит на работу в театр «Современник», где и работает всю свою жизнь. Его называют одним из основателей этого театра, вместе с Олегом Ефремовым и Галиной Волчек.
Актер сыграл большое количество ролей в театре и кино. В кино Игорь Кваша дебютировал в 1961 году в фильме «В трудный час». А первой большой работой стала роль Карла Маркса в кинокартине «Год как жизнь». Он пробовал свои силы и в качестве режиссера, поставив спектакли: «Дни Турбиных», «Кот домашний средней пушистости», «Кабала святош», «Балалайкин и К°».
Лучшими фильмами с его участием являются: «Соломенная шляпка», «Жребий», «Просто Саша», «Сыщик», «Тот самый Мюнхаузен», «Сказки старого волшебника», «Человек с бульвара Капуцинов».
Кваша является ведущим актером «Современника» и играет во многих спектаклях - «Вишневый сад», «Карамазовы и ад», «Бесы», «Балалайкин и К°», «Виндзорские насмешницы», «Титул», «Играем... Шиллера!», «Трудные люди» и других.
На протяжении нескольких лет Игорь Кваша является ведущим телевизионной передачи Первого канала «Жди меня».