Иван Владимирович Цветаев родился 16 мая 1847 года в селе Дроздово Владимирской губернии. Шесть лет учился в Шуйском духовном училище, после чего еще шесть лет во Владимирской семинарии. Затем поступил в Петербургский университет на классическое отделение историко-филологического факультета, который закончил в 1870 году.
Иван Владимирович Цветаев получил степень кандидата наук и с 1871 года начал преподавать греческий язык в одной из петербургских гимназий. В 1872 году Цветаев стал доцентом Императорского Варшавского университета. Здесь же он защитил магистерскую диссертацию.
Спустя два года Цветаев отправился в зарубежную командировку в Италию для изучения древних италийских языков и письменности. Позже в разное время преподавал латинский язык, работал в Румянцевском и Публичном музеях в Москве.
В 1876 году был зачислен доцентом Киевского университета св. Владимира, но уже через год был приглашен в Московский университет для преподавания латинского языка на кафедре римской словесности.
Иван Владимирович - отец двух дочерей, Марины - знаменитой поэтессы и Анастасии, писательницы.
По его инициативе в 1894 году был объявлен конкурс на лучший проект музея изящных искусств в Москве. Победил в конкурсе проект Романа Ивановича Клейна. В августе 1899 года состоялась торжественная закладка музея.
Цветаев скончался 12 сентября 1913 года в Москве. На фасаде Музея изобразительных искусств имени А.С. Пушкина в Москве установлена мемориальная доска в его честь.