Юрий Георгиевич Богатырев родился 2 марта 1947 года под Ригой в семье офицера. В детстве любимым занятием будущего актёра был кукольный театр, другим увлечением – рисование.
После восьмого класса Юрий поступил в художественно-промышленное училище. Студенты училища выезжали в подмосковные леса на этюды. Там он познакомился с ребятами из кукольного театра-студии «Глобус» Владимира Штейна. Общение с ними пробудило в юноше страсть к сцене, и в 1966 году он поступил в театральное училище имени Б.В.Щукина, на курс Юрия Васильевича Катина-Ярцева.
В 1971 году, после окончания Щукинского училища, был принят в труппу театра «Современник». Лучшими ролями стали герцог Орсино в «Двенадцатой ночи» по Шекспиру и Марк в пьесе Виктора Розова «Вечно живые».
В ноябре 1974 года на экраны страны вышел фильм Никиты Михалкова «Свой среди чужих, чужой среди своих», в котором актёр сыграл Егора Шилова – человека, несправедливо заподозренного в предательстве и доказывающего свою невиновность. Съёмки проходили в Чечне, в горных и предгорных станицах и аулах. Местные жители, знавшие толк в лошадях и джигитовке, не раз восхищались тем, как актёр ездил верхом. В седле он держался так, как будто занимался верховой ездой всю жизнь, и с лошадью управлялся как опытный наездник.
В 1977 году Олег Ефремов пригласил Юрия Богатырёва во МХАТ. Некоторое время актёр играл в двух театрах. В 1980 году снялся еще в одной картине Никиты Михалкова — «Родня». Сыграл роль Стасика – мешковатого растяпы, которого обманывает жена, бьёт тёща, не ставит ни в грош дочь. Михалков хотел, чтобы этот персонаж не был столь однозначным, чтобы это был трогательный человек, который никому не приносит зла, большой ребёнок. Богатырёв сыграл его великолепно, этот образ был внутренне ему очень близок.
Юрий много рисовал, писал портреты друзей, композиции на темы любимых фильмов или пьес. В конце января он готовил первую в своей жизни персональную выставку живописи – отобрал работы, придумал название. Она должна была открыться в Москве 6 февраля 1989 года. Но судьба распорядилась иначе.
Жизнь Юрия Богатырёва трагически оборвалась 2 февраля 1989 года.